Python 实现杨辉三角的多种方法

一、Python 实现杨辉三角的多种方法

杨辉三角是一种非常有趣的数学概念,它不仅在数学领域有广泛应用,在编程中也有许多应用场景。作为一名专业的网站编辑,我将为您详细介绍如何使用 Python 实现杨辉三角的多种方法。

什么是杨辉三角?

杨辉三角又称Pascal三角形,是一种三角形数列,它的每一项都等于它上方两项之和。杨辉三角从第一行的 1 开始,往下每一行的数字个数都比上一行多一个。它具有许多有趣的数学性质,在组合数学、概率论等领域有广泛应用。

Python 实现杨辉三角的多种方法

下面我们来看看如何使用 Python 实现杨辉三角的几种常见方法:

1. 使用列表推导式

这是最简单直观的实现方式,利用列表推导式可以很容易地生成杨辉三角的每一行:

def yanghuiTriangle(n):
    triangle = []
    for i in range(n):
        row = [1] * (i + 1)
        for j in range(1, i):
            row[j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle

2. 使用递归

我们也可以使用递归的方式来实现杨辉三角,这种方法更加简洁:

def yanghuiTriangle(n):
    if n == 1:
        return [[1]]
    else:
        pre_triangle = yanghuiTriangle(n-1)
        cur_row = [1]
        for i in range(1, n-1):
            cur_row.append(pre_triangle[-1][i-1] + pre_triangle[-1][i])
        cur_row.append(1)
        pre_triangle.append(cur_row)
        return pre_triangle

3. 使用 NumPy 库

如果你需要处理更大规模的杨辉三角,可以考虑使用 NumPy 库,它提供了高效的数组操作功能:

import numpy as np

def yanghuiTriangle(n):
    triangle = np.zeros((n, n), dtype=int)
    triangle[:, 0] = 1
    triangle[0, 0] = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, i+1):
            triangle[i, j] = triangle[i-1, j-1] + triangle[i-1, j]
    return triangle

以上就是 Python 实现杨辉三角的几种常见方法,希望对您有所帮助。如果您还有其他问题,欢迎随时与我交流。感谢您的阅读,祝您学习愉快!

二、怎么用python实现这样的杨辉三角啊？

下面是使用Python实现杨辉三角的代码：

```python

def pascal(n): # n代表杨辉三角的行数

t = [] # 存储杨辉三角的列表

for i in range(n): # 遍历杨辉三角

row = [1] * (i + 1) # 每行章节数都为1，当行数为i+1的时候可知道有i+1个数

for j in range(1, i):

row[j] = t[i - 1][j - 1] + t[i - 1][j] # 算出每行中除最左和最右边的值

t.append(row) # 加入到列表中

return t

# 打印出前10行杨辉三角

t = pascal(10)

for i in range(10):

for j in range(i+1):

print(t[i][j], end=' ')

print('')

```

需要注意的是，这段代码使用了二维列表来存储杨辉三角，以便于后续的操作，也可以直接将杨辉三角打印出来。

三、杨辉三角为什么叫杨辉三角？

谢邀，因为这种里理论被数学家杨辉发明，为了纪念他就这样叫

四、杨辉三角公式？

是指，在杨辉三角中，每个数都等于它上方的两个数之和。这个公式被称为二项式定理或帕斯卡定理，可以用于计算二项式系数或展开二项式式子。 杨辉三角本身是由杨辉在中国古代发明的一种数学图形，被广泛运用于代数、概率论、组合数学等领域。而则是这种图形性质的一种数学表达方式。

五、杨辉三角讲解？

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。

六、杨辉三角经典例题？

这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．

事实上，这个三角形给出了（a+b）^n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．

例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）^2=a^2+2ab+b^2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a+b）^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3展开式中各项的系数等等。

通过杨辉三角，我们可以解决一些数学问题，比如涉及到找规律的问题和赋值法的使用。

例题1：

如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1=1，a2=2．a3=3，a4=3，a5=6，a6=4，a7=10，a8=5…，则a99+a100的值为（ ）

解：由图可得，第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始，第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始，

∴a99+a100=（1+2+3+…+50）+[（100÷2）+1]=1275+51=1326，

例题2：

如图是中国宋代的“贾宪三角”又称“杨辉三角”，比欧洲的“帕斯卡三角”早近600年，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律．观察下列各式及其展开式，请猜想（a+b）^10展开式中所有项的系数和是（ ）

解：当n=1、2、3、4、…时，（a+b）n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…，

由此可知（a+b）^n展开式的各项系数之和为2^n，所以（a+b）^10展开式中所有项的系数和是2^10=1024．

然后，看一下赋值法的使用：

分析：第1小问，观察式子可以发现，应该是a+b的5次方，并且a为2，b为-3，可以利用赋值法另a=2，b=-3，那么得到（2-3）的5次方，答案是-1；

第2小问，分别另x=1和x=-1进行求解。

这就是赋值法的使用。

七、杨辉三角的答案？

1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)A．2n－1　　B．2n－1　　C．2n＋1－1　　D．2n[答案]　C[解析]　解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.2．(2013·辽师大附中高二期中)(1＋x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是(　　)A．第＋1项 B．第n项C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项[答案]　C[解析]　展开式中共有2n＋1项，中间一项为第n＋1项，故选C.3．若n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于(　　)A．210 B．120 C．461 D．416[答案]　A[解析]　由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C＝210.4．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(　　)A．2 B．3 C．4 D．5[答案]　A[解析]　a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，奇数的个数是2，故选A.5．(2013·辽师大附中高二期中)若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为(　　)A．奇数 B．偶数C．3的倍数 D．被3除余1的数[答案]　A[解析]　9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，n＋1为偶数，n为奇数．6.8的展开式中x4项的系数是(　　)A．16 B．70 C．560 D．1120[答案]　D[解析]　考查二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝C(x2)8－r(2x－1)r＝C·2r·x16－3r，16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C24＝1120.二、填空题7．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案]　5　10[解析]　令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.8．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.[答案]　1[解析]　由Tr＋1＝Cx9－rr＝(－a)rCx9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C＝－84，解得a＝1.9．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.[答案]　3[解析]　由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，2n＝8，n＝3.三、解答题10．试判断7777－1能否被19整除？[解析]　7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C·7676＋C·7675＋…＋C·76＋C－1＝76(7676＋C7675＋C7674＋…＋C)由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．[点评]　在利用二项式定理证明整除问题或求余数的问题时要进行合理的变形，常用的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底数写成两数之和，其中一数是除数或其倍数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.能力拓展提升一、选择题11．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　)A．第9项 B．第10项C．第19项 D．第20项[答案]　D[解析]　(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故选D.12．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　　)A．0 B．2 C．7 D．8[答案]　C[解析]　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.13．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)A．28 B．38 C．1或38 D．1或28[答案]　C[分析]　令Tr＋1项中x的指数为0可求得常数a的值；在二项展开式中当x＝1时即得各项系数的和．[解析]　Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4C＝1120，a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.14．(2013·长春十一高中高二期中)若a为正实数，且(ax－)2014的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2014项为(　　)A. B．－C. D．－[答案]　D[解析]由条件知，(a－1)2014＝1，a－1＝±1，a为正实数，a＝2.展开式的第2014项为：T2014＝C·(2x)·(－)2013＝－2C·x－2012＝－4028x－2012，故选D.二、填空题15．(2013·长春市十一高中高二期中)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于nN*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.[答案]　[解析]　观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝.16．(2013·福州文博中学高二期末)若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为________．[答案]　6[解析]　令f(x)＝x3，则a0＝f(2)＝8a0＋a1＋a2＋a3＝f(3)＝27a0－a1＋a2－a3＝f(1)＝1②＋得，a0＋a2＝14①代入得，a2＝6.三、解答题17．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析]　令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.①＋得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.18．在(－)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析]　(1)Tr＋1＝C·()n－r·(－)r＝C·(x)n－r·(－·x－)r＝(－)r·C·x.∵第6项为常数项，r＝5时有＝0，n＝10.(2)令＝2，得r＝2，所求的系数为C(－)2＝.(3)根据通项公式，由题意得：令＝k(kZ)，则10－2r＝3k，即r＝＝5－k.0≤r≤10，0≤5－k≤10，－3≤k≤3，又k应为偶数，k可取2,0，－2，r＝2,5,8，第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C·(－)2·x2，C(－)5，C·(－)8·x－2.即x2，－和.1．设(5x－)n的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)A．－150 B．150 C．300 D．－300[答案]　B[解析]令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240.解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－rCx4－ r，令4－r＝1得r＝2，当r＝2时，展开式中x的系数为C52＝150.故选B.2．若二项式(x2－)n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为(　　)A．－240 B．－160 C．160 D．240[答案]　D[解析]　由条件知2n＝64，n＝6，Tr＋1＝C(x2)6－r·(－)r＝(－1)r·2r·Cx12－3r令12－3r＝0得r＝4，常数项为T5＝24·C＝240.3．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(xR)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．[解析]　(1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010与式联立，－得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.(3)Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，a2k－1<0(kN*)，a2k>0(kN*)．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.

八、什么是杨辉三角？

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，古称“开方作法本源图”。

杨辉三角的历史

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。最早出现在《宋史·艺文志》中贾宪所著的《黄帝九章算法细草》九卷，书已无存，但其许多内容为100多年后的南宋数学家杨辉1261年撰写的《详解九章算法》之中，故又称为杨辉三角形。

九、杨辉三角公式是？

杨辉三角是一种有趣的递推数列，由数学家杨辉（Yang Hui）在13世纪发现并研究。它是通过每次迭代将上一行的相邻数相加的结果写在下一行的两个端点以及上一行两个相邻数之和的中点。杨辉三角的公式如下：

C(n, m) = C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m)

其中C(n, m)表示从n个元素集合中选取m个元素的组合数，也可以被表示为C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)。

换句话说，杨辉三角的公式是通过将上一行的相邻数相加得到下一行的数字，以及利用公式计算组合数，从而生成整个杨辉三角数列。这个公式被广泛应用于各种领域，包括概率论、代数学和组合学等。

十、杨辉三角的来历？

11世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

　　布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。