离散傅里叶变换表？

一、离散傅里叶变换表？

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律

离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

二、离散傅里叶变换DFT和离散时间傅里叶变换DTFT的区别？

一、两者的实质不同：

1、离散傅里叶变换DFT的实质：离散时间傅里叶变换。

2、离散时间傅里叶变换DTFT的实质：序列的傅里叶变换。

二、两者的结果不同：

1、离散傅里叶变换DFT的结果：傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。

2、离散时间傅里叶变换DTFT的结果：原信号如果是非周期函数，DTFT变换后是连续函数；原信号如果是周期函数，DTFT变换后是离散函数。 三、两者的周期不同：

1、离散傅里叶变换DFT的周期：

（1）从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(ejω)的等间隔采样。

由于X(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列。

（2）从DFT与DFS之间的关系考虑。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，当不限定N时，具有周期性。

（3）从WN来考虑，当不限定N时，具有周期性。 2、离散时间傅里叶变换DTFT的周期： 将以离散时间信号X(n)变换到连续的频域，值得注意的是这一频谱是周期的，且周期为2π。 来源：-离散傅里叶变换 来源：-DTFT

三、傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系？

定义

离散傅里叶变换(DFT)，是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。在形式上，变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

物理意义

(1)物理意义

设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示

X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn

X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n

X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N

单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换

离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义.

四、离散傅里叶变换应用条件？

（1）傅里叶变换的充分条件：函数f(t)在无限区间上绝对可积。引入广义函数的概念后，许多绝对不可积的函数傅里叶变换也存在。

（2）拉普拉斯变换条件：函数f(t)在有限区间内可积；|f(t)|乘上衰减因子后，t趋于无穷的时候趋于0。

五、离散傅里叶变换的推导过程？

你好，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是将离散信号从时域转换到频域的一种数学方法，其推导过程如下：

1. 基本定义

对于离散时间信号 $x[n]$，其 $N$ 点 DFT 定义为：

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi nk/N}, \ \ \ \ k=0,1,2,\cdots,N-1$$

其中，$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$ 是欧拉公式。

2. 证明 DFT 的对称性

由 DFT 的定义，可以得到如下对称性：

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi nk/N} = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi(n+N-k)k/N} = X[N-k]$$

因此，$X[k]$ 与 $X[N-k]$ 是共轭对称的。

3. 证明 DFT 的周期性

将 $e^{-j2\pi nk/N}$ 分解为 $e^{-j2\pi (n+mN)k/N}$ 和 $e^{-j2\pi nk/N}$ 的形式，可以得到如下周期性：

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi nk/N} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi (n+mN)k/N}$$

由于 $e^{-j2\pi (n+mN)k/N} = e^{-j2\pi nk/N}$，所以：

$$X[k] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi nk/N} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} X[k-mN]$$

因此，$X[k]$ 是以 $N$ 为周期的。

4. 用矩阵表示 DFT

将 $X[k]$ 表示为向量形式 $\mathbf{X}=[X[0],X[1],\cdots,X[N-1]]^T$，将 $x[n]$ 表示为向量形式 $\mathbf{x}=[x[0],x[1],\cdots,x[N-1]]^T$，则有：

$$\mathbf{X} = \mathbf{W}\mathbf{x}$$

其中，$\mathbf{W}$ 是 $N\times N$ 的矩阵，其元素为：

$$W_{k,n} = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{-j2\pi nk/N}$$

则有：

$$\mathbf{W}_{k,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & e^{-j2\pi/N} & \cdots & e^{-j2\pi(N-1)/N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & e^{-j2\pi(N-1)/N} & \cdots & e^{-j2\pi(N-1)^2/N} \end{bmatrix}$$

5. 用矩阵乘法计算 DFT

根据矩阵乘法的定义，可以得到：

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi nk/N} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} \mathbf{W}_{k,n} x[n]$$

因此，可以用矩阵乘法 $\mathbf{X} = \mathbf{W}\mathbf{x}$ 计算 DFT。

6. 总结

综上所述，离散傅里叶变换的推导过程包括了 DFT 的基本定义、对称性和周期性的证明，以及用矩阵表示和矩阵乘法计算 DFT 的方法。

六、离散傅里叶变换的物理含义是什么？离散傅里叶？

1、DFT离散傅立叶变换的过程是：对于离散数据进行周期延拓，对这个离散周期信号求DFS（离散周期信号傅立叶级数），这个级数也是离散的，周期的，取其中一个周期就得到了离散信号傅立叶变换。所以说“认为原信号是周期的”这基本没问题。

2、某个频点上的值本来就看不出原来信号的时域特征，也就是说傅立叶变换本身在时频域的局部性分析上就存在缺陷，所以以后才出现了小波变换。比如一个方波在频域是一个sinc函数，你从sinc函数的一个局部位置能看出这个信号在时域上是什么样吗？这个是不可能的。

3、现在信号本身就是离散的，不存在采样的问题。如果信号本身是连续的，那采样应该是进行DFT之前的步骤，不要混为一谈。如果采样不存在问题，那么没人会把1.3个周期内的点进行延拓来求傅立叶变换，因为这本身就是错的。采样故意采成非整周期的情况，估计那个人脑子有毛病4、一个能量信号的能量谱就是它频谱的模的平方，那么你直接看某个频点上幅度大，应该就表示它在这个频率点上的能量较大。

七、离散时域傅里叶变换的方法如何使用？

连续信号为s(t)，离散信号在时域上是s(t)与周期冲击信号的乘积傅里叶变换是由时域到频率的变换根据性质可以知道，时域的乘积在频域的卷积，s(t)的傅里叶变换假设是S(f)，冲击函数的傅里叶变换仍然是频域周期的冲击函数两个相互卷积是什么样的呢？

当然就是在频域上周期的S(f)了自己再想想吧，傅里叶变换的性质

八、为什么工业上常用离散傅里叶变换？

工业上常用离散傅里叶变换，是因为离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。

九、MATLAB里有离散傅里叶变换的函数吗？

是的。fft()是快速傅立叶变换。

注意：通常所说的离散傅里叶变换为DFT。FFT只是实现了DFT的快速运算。

基于FFT的特点，注意以下几点：

如果输入信号的长度是2的n次幂，FFT运算效率最高。

实信号的FFT速度大概是复信号的一半，当信号很长的时候，速度相当

FFT的运行速度可以用fftw()来进一步加强。

十、二维离散傅里叶变换的实现方法？

傅里叶变换是一种信号分析方法，可以分析信号的组成成分，在对信号进行傅里叶变换后，信号可以展开为一连串的正弦信号的组合。其目的是将信号由其时域表示转换为频域表示，而将离散序列由其时域表示转换为其频域表示，所用的就是离散傅里叶变换，其变换结果也是离散的。

傅里叶变换不仅能用来分析一维序列，也能用来分析二维序列，即图像，对它进行傅里叶变换得到的也是它的频谱数据。对于数字图像这种离散的信号，频率大小表示信号变化的剧烈程度或者说是信号变化的快慢。频率越大，变化越剧烈，频率越小，信号越平缓，对应到图像中，高频信号往往是图像中的边缘信号和噪声信号，而低频信号包含图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号。同时，由于图像是二维离散数据，对图像的离散傅里叶变换也是二维的，即二维离散傅里叶变换，操作上是先对行进行一维离散傅里叶变换，在行变换结果上对列进行一维离散傅里叶变换。